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tag 標簽: 分岔圖

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熱度 3 lvnaiji 2019-2-23 16:11
呂乃基 在普里戈金的耗散結構理論中,分岔圖的地位十分重要。由分岔圖可以說明許多社會現象 。參見: 他/她的一生:從分岔到分岔——人生感悟之二 ; 首先,偶然與必然 。個體的發展道路充滿了分岔,充滿了偶然性。以為必然性支配一切,偶然性只是為必然性開辟道路,不見得了。哲人從古典時期就意識到偶然性的重要性。伊壁鳩魯在其原子論中,特別賦予“偶然偏斜”以特殊地位,意識到偶然性創造世界。 中世紀強調神跡,近代科學革命以必然性反對神跡,同時也就反掉了偶然性。拉普拉斯的言辭即是典型。 19 世紀,概率、統計相繼登場,20世紀初,居里提出,非對稱創造世界,與伊壁鳩魯有異曲同工之妙。然后有海森堡的測不準原理,玻爾與愛因斯坦的爭論,以及當代更多的研究成果。偶然性在自然和世界的進程中已經扮演,并將繼續扮演越來越重要的角色。 偶然性并不排斥必然性 。在分岔點上是偶然性主宰,但也可窺見必然性的地位。譬如高考,自己沒有準備好,那么什么樣的緣分都與你無緣。人先要自救,上帝方能救你。在兩個分岔點之間則是必然性主導,原因和結果基本上在預料之中。一分耕耘,一分收獲。在必然性階段也不是無所作為,實際上是在迎接未來可能的分岔。即使經歷分岔,歷史也會記憶,一言一行,都有往日的印記。由今日之中國,可瞥見歷史上的風風雨雨。 其次,歷史與未來 。站在某個時刻t’往回看,一個人走過的路是清晰的,經歷了多少分岔,歷經多少磨難。往前看,還將面臨各種分岔、不確定。筆者的一位朋友頗有氣度地將此概括為:歷史向未來敞開大門! 歷史與未來不對稱。 在分岔圖上,中國漫長的封建社會沒有分岔,大致就是一條直線, 歷史與未來對稱。類似于已死之人的心電圖。 生活于中國時隔千年兩個朝代的個人,大概彼此的交往不會有太大問題。而今,國人已經有了較之前人,較之其父母更多的機會,“代溝”一詞就是當代中國時間圖景形象的寫照。 技術有路徑鎖定,人有路徑鎖定,民族、國家亦然。嬰兒與老人有很多區別。在分岔圖上,嬰兒的未來幾乎“一切皆有可能”,而老者的面前基本上就看得清了。得到的越多,改變的可能就越小。走過的路越長,越是人口眾多,以及越是原住民,改變的難度越大。 路徑鎖定就是人類社會中的慣性定律。 常聽聞這一說法:世界各國各民族,傳統文化數千年一貫傳承,唯中國耳。言語間充滿自豪。殊不知事物的另一面: 歷史對未來的“鎖定” 。即使改革已經40年,依然可以進一步退兩步。 千年、百年、30年的巨大慣性,對中國的未來產生強大的影響。 復次,隨機漲落、遠離平衡態與慣性回歸力 漲落是對平衡位置的偏離。漲落,對于靜止和僵化不變的事物是一種破壞,然而,對于自然,生命和社會,則是進化的必要條件!半S機”之要義是不確定。正是隨機漲落及其隨機組合,孕育了新的可能。英國著名詩人濟慈在19世紀寫道,在懷疑和不確定中生活的能力,是創造力的基礎。在危險中漫游,讓人感到自己生命的力(魯迅)。 中國由計劃經濟到市場經濟,向個人提供了更多選擇的機會,同時也就煥發了在組織的溫暖下(在溫水中)被銷蝕的主體意識。正是在這樣的環境中,個人的能力和主體意識得到了提升。在每個個人自主決策之時——隨機漲落,社會整體也就獲得了更大的動力,以及更多的選擇機會。 必須指出,通常的隨機漲落及其耦合,如果沒有“遠離平衡態”,系統就會因“慣性回歸力”而回到原來的狀態。只有遠離平衡態,系統才可能在新的狀態穩定下來。 上世紀 80 年代末到 90 年代初的“治理整頓”就是對前 30 年的“慣性回歸”,鄧小平的南方談話制止了這一趨勢。 以為中國已經走出分岔點,匯入人類歷史的大潮,然而面對現實不得不承認: 中國,至今尚無“遠離平衡態”。慣性回歸力依然強大。 第四,分岔與選擇 。越是進步的社會,提供給個人的機會或分岔就越多。然而不得不承認,對于大多數青少年,高考幾乎是人生道路上唯一的無奈的選擇。面對獨木橋,千軍萬馬、千家萬戶耗盡精力和財力,也就在很大程度上耗盡了祖國的前途和未來的希望。高考,已經成為國人一生中的瓶頸。不得已,有條件者選擇出國,在世界范圍選擇。為青少年提供更多的選擇機會,這是國家的責任,也是國家的前途所系。 改革開放的一大變化是,提供給個體越來越多的機會,或者說,個體有了越來越大的自由度。不過,機會越多,對選擇者的要求也越高:你會選擇嗎? 選擇的難度在于 ,其一,對于各種分岔信息的把握,F今社會,信息不對稱隨處可見。再說,占有信息需要大量時間和其他成本。 其二,即使擁有了充分信息,信息越多,解題的難度越大。一位高校教師,對于是否買學校提供的長江邊上一棟高樓的住房,咨詢了幾百年前的地基是否是淤泥沉積。老太太到菜場買菜,屏幕上顯示出500種菜的品種、鐵、磷、鋅、蛋白質等的含量、有無殺蟲劑殘留、是否轉基因、倉儲幾天、運輸價等等。把所有這些數據一股腦兒塞給這位老太太,她還買得成菜嗎?所以,在數字化社會需要發展非數字化生存的能力。 其三,在各種分岔之間的價值判斷。分岔涉及局部和整體、眼前和長遠的利益,有待在價值觀引導下作出正確的判斷。 第五,各種分岔,轉瞬即逝,這就是“窗口期”。 所謂“機不可失時不再來”。中國自1978年啟動改革開放,1992年轉向市場經濟,2001年加入WTO,分岔的窗口已經打開。然而2008年金融危機,以及而后國內外的一系列變化,致使窗口發生了重大變化,曾經的窗口已經關閉。 習慣講,從勝利走向勝利,或許更確切地說,也就是從分岔到分岔 此外, 普里戈金的分岔圖對于目標的作用重視不夠,再加上協同學的“吸引子”就比較完善了。在當今社會,“主旋律”、“核心價值”等,都是對選擇者的規勸。然而,這種“虛”的規勸不如現實活生生的教誨。相比較而言,穩定收入和社會地位或許有更大吸引力,公務員考試之熱可見一斑。社會的制度設計與所宣傳的核心價值有出入。隨著公務員在社會中的權重越來越大,社會的走向將會偏離航道。 最后,分岔的相遇。 上面述及的是個體,個體只能在一個個分岔進行選擇,不能“既”,“又”,“腳踏兩只船”。不過,他不是一個人在戰斗。 在個人長大之時,童年時代的鄉土和圍繞在他身邊的人,包括父母,對他的影響越來越弱。與此同時,個人的路徑則距其他個體的分岔越來越近;他遇到了各色與他一樣從形形色色的背景中走出來的年輕人,以及許多素不相識的人,分岔與分岔開始交往,并且對各自產生或大或小的影響。小則影響兩個分岔點之間的必然階段,大則導致分岔。除了人品、知識、價值觀等外,文化上越是遠緣,影響越大。影響最大的多半是他或她的另一半。 從出生到走向社會,多半生活在父輩的影響之中,隨后“走自己的路”,同時又將子女置于自己的掌控之下,直至子女走上獨立。 朋友說,神說(我弄不清究竟是他說,還是神說),人流中插肩而過是十年修來的緣,默默相視是百年,彼此交流是千年,成為朋友是萬年,能為你祝福是萬萬年之緣。 有相遇,就會有離別,被稱為“緣分已盡”。 雖然如此,相遇,哪怕偶遇,也會在心中激起大大小小的漣漪。相遇和離別,彼此已經交換了生命的一部分。 如此看來,教師,桃李滿天下,能夠在天下的“桃李”打下自己的印記,將自己有限的生命擴展到更多的生命…… 微信群,加群和移出,加好友和刪除拉黑,極大改變了個體路徑的交會狀況,關鍵是增加了個體對與之相遇的個人的選擇權。 人是社會關系的總和。好友和群,特別是群,與誰為伍,誰就是你的鏡像。 全球化,是各國分岔圖的相遇,筆者將在另文中分析。
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分享 耗散結構理論用于人文社會科學
熱度 2 lvnaiji 2016-7-11 08:57
呂乃基 20 世紀40年代后期的三論,特別是近年發展起來被稱為新三論和自組織理論的耗散結構理論、協同學,以及超循環理論和突變論,大大深化了人類對自然界演化機制的認識。普里高金在研究非平衡態熱力學中提出耗散結構理論,這一理論對于研究社會和社會結構轉型具有同樣重要的意義。 可以簡要列舉如下: 1 .漲落導致有序 。漲落是對平衡位置的偏離。對于無機物來說,漲落是不穩定的源泉,是破壞結構的因素;而對有機物特別是生命體來說,漲落是有序的源泉,促使結構走向更加有序。這樣來看,中國的傳統文化幾近于無機物,至多死水微瀾,漲落稍大便土崩瓦解。漲落可以有范圍、頻率和幅度,譬如微信群的大小、網友參與的頻度,以及彼此交流的深度。漲落就是日新月異及不斷豐富的社會生活,必將給相對穩定的社會結構帶來持續的和越來越大的壓力,要求后者轉型,具有更有效和完善的組織與功能。 2 .選擇通往未來 。當然漲落也會導致破壞,例如基因突變帶來疾病,各種犯罪行為給社會和罪犯本人造成危害,因而漲落只是有序的必要條件,而不是充分條件。系統經由某種機制對要素的漲落進行選擇,以有利于系統的穩定和演化。這是有序的充分條件,涉及到社會結構轉型的方向。在當前中國的一個重大問題是,由市場選擇還是官員拍板,譬如不久前的一句名言:“共和國選擇了你”。放眼世界,英國剛經歷公投脫歐。選擇權越來越成為更多事項的核心。 3 .非線性相互作用 。要素和要素通過非線性作用而彼此相干,于是各種漲落之間發生疊加。新的結構就是在非線性相互作用中產生出來,同時也就“涌現”出新的功能。漲落間相互作用的復雜性、隨機性,相關性越大,產生的分岔越多,也越可能發生巨漲落。非線性相互作用既存在于社會結構穩定之時,也發生于潛在的社會結構生成的過程中。例如在羅馬帝國后期從城市返回鄉間的莊園主,以及逃離城市和大道去莊園尋求庇護的平民,二者之間形成新的耦合。 4 .遠離平衡態,形成巨漲落 。小漲落的疊加在一定條件下會形成巨漲落而遠離平衡態。系統產生巨漲落就是在分岔圖上走向分岔點。這首先表明,系統已經不可能退回到原來的平衡狀態。系統只有遠離平衡態才能克服“慣性回歸力”。由上世紀末的“治理整頓”可見“慣性回歸力”之巨大,時至今日,中國的慣性回歸力依然強韌。其次,分岔點極其敏感,系統內外微小的變化都會導致系統巨大的變化。金融危機、英國脫歐,都是分岔,前者至今尚未平息,后者剛剛開始,又增添了前一個分岔的不確定性。遠離平衡態就是社會結構轉型的第三階段,新結構(不論以漸變或是突變的方式)取代原有結構。 5 .環境的影響 。任何系統都處于特定的環境之中,因而受到環境的影響,有可能吸收環境的負熵以克服自身的熵增,系統才可望從無序走向有序。與此同時,輸出負熵的一方,有可能熵增而走向無序。西歐的崛起吸收了殖民地的負熵,中國東部的發展,城市的發展,以西部和農村的落后為代價。 分岔圖是耗散結構理論的主要內容之一,在人文社會科學具有強大的解釋功能。 1. 偶然與必然 事物的發展并非必然和線性,而是充滿偶然與分岔。 系統在兩個分岔點之間的過程基本上是必然的,而在分岔點上由于上述敏感性則受種種偶然因素的影響,究竟進入那一個分岔有很大的不確定性。朝鮮戰爭之所以對中國發展道路影響如此巨大,在相當程度上在于其發生在第二次社會結構轉型剛塵埃落定,發生于中國在耗散結構理論的分岔圖上剛走出分岔之際,內部的各種因素尚未得到耦合,與世界的關系尚未確定,還有諸多選項之時就剝奪了中國的選擇權,F在英國脫歐,此時此刻對于英國與歐盟來說,就是處于分岔點上,受到輕微作用就可能產生全局和長遠的影響。 2. 歷史與未來 在分岔點兩側,時間不可逆、不對稱。在分岔點上,一旦克服慣性回歸力而遠離平衡態,系統就會進入某一個分岔,形成新的平衡而穩定下來,就不可能退回到原來的平衡狀態,也不可能退回到分岔點再進入另一條分岔。站在任一時刻t回顧歷史,走過的路歷歷在目,而展望未來,前途有無限的可能性。這就是那句廣告語:一切皆有可能。歷史與未來不對稱,歷史向未來敞開大門。傳統文化的一大特征是,在分岔圖上幾乎是一條直線,前后對稱,沒有變化,如同心臟停止跳動的心電圖。 分岔點具有記憶。走過的路越多,改變的可能性越小,這就是路徑鎖定,甚至就是牛頓的慣性定律。中國以歷史悠久引以為豪,與此同時也不得不承受歷史的重負。 3. 分岔與選擇 社會的進步主要不在于高鐵里程,不在于GDP,而是在于是否具有并容納更多的分岔,提供更大的選擇余地。經濟上的壟斷和觀念上的一律,剝奪、壓縮了個人的選擇空間。反過來,個人面對越來越多的分岔,是否具有選擇能力,則成為個人高下的尺度。 4. 窗口期 時不待我。古代世界,各國各民族彼此很少交往,有些地方例如西歐可以幾個世紀處于不確定狀態;然而現在全球化再加上互聯網,一個國家不可能長期懸而未決,留給地方、企業、個人的窗口期更短。 耗散結構理論(和其他自組織理論)能開啟考察社會和社會結構轉型的新視角。博主曾試圖以此分析中國的改革開放、全球化、金融危機,以及當前的世界與中國。
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分享 后金融危機時期的世界與中國
熱度 2 lvnaiji 2013-9-12 08:36
呂乃基 博主近日關注后金融危機時期世界發生的變化,關注這樣的變化對中國的影響。主要觀點: 在金融危機前,世界各國以自身特定的資源稟賦在全球產業鏈上分占一席之地。金融危機打破了全球產業鏈,各國 由重在合作轉向彼此競爭 。 當前,世界正處于兩個相對穩定的全球產業鏈之間,處于普利高津分岔圖的分岔點的附近。 中國必須在新的世界格局中盡早走出自己的新路,以新的姿態迎接和建構未來的全球產業鏈。 國際環境趨緊在一段時期成為常態。中國有必要提高心理承受能力,泰然處之。避免民粹主義、民族主義和狹隘愛國主義的裹挾;防范來自國際和國內不確定性因素的破壞和干擾,堅定走改革開放之路。 博主將于9月17日(下周二)下午2時在東南大學東南院103室講演。 題目是: 后金融危機時期的世界與中國 提綱: 一、 功能耦合及其演變 二、 金融危機前的全球產業鏈和作為世界工廠的中國 三、 金融危機:全球產業鏈解構 四、 后金融危機:全球產業鏈重組的分岔點 五、 走出分岔點 1. 美國 2. “兩洋戰略” 3. 新的全球產業鏈和游戲規則正在形成中 六、 內需倒逼改革 歡迎南京有興趣的朋友前往指導、交流。 求助: 博主已經有多日打不開頁面右上方的 “ 提醒 ” ,點擊就進入 “ 114 ” 。不知是網不對,還是哪里的問題?多次由科學網右下角的“聯系我們”聯系,郵件均被退回。 敬請編輯部和各位指教,謝謝! 呂乃基
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分享 個人的時間與群體的時間——再論科學網的時間維
熱度 3 lvnaiji 2013-5-1 20:04
呂乃基 在社會中,每個人都有自己的時間箭頭,忽快忽慢,時左時右。有的人一再跳槽,分岔不斷(參見 他 / 她的一生:從分岔到分岔 —— 人生感悟之二 ),有的人在某某崗位默默地一干就是數十年。順便說,后者正是主流媒體所倡導的生活方式。 這些時間箭頭彼此相遇、交織,有時就會給對方、雙方,或者多方帶來驚喜或災難,成為后者的一個分岔,甚至從此與之同行,例如婚姻。一方面,正是個體各自的時間箭頭匯成群體的時間箭頭,群體的時間箭頭又匯入更大的群體之中,學校、公司、國家,后者又在全球化中匯成人類的時間箭頭。沒有個人的時間箭頭,就沒有群體乃至人類的時間箭頭。另一方面,個人的時間箭頭只有在群體和人類的時間箭頭中才有意義。 各人、各個群體、各個民族和國家,在人類時間箭頭中的影響千差萬別,最簡單的區分就是小時看電影:好人壞人?也就是正面和負面,向前和向后之分,拿現在的時髦話來說,就是能否提供“正能量”。正面如二戰中的同盟國;反面如希特勒和本拉登。影響的權重同樣相差甚遠,大者如喬布斯,活著就是為了改變世界,小者如蕓蕓眾生,默默無聞。這么說好像有點“英雄史觀”的色調,不過一來歷史就是這樣,英雄造時勢;二來可以說,多少人,多少年,才出一個喬布斯,沒有默默的眾人,也就沒有喬布斯,在喬布斯的背后,似乎也有俺們普通中國人一員;于是也就似乎解開了心結。 個人與民族對人類的影響,還要看有多大權重。權重位高者言重,反之則人微言輕。說到“權重”,其中又可以有不少文章:是個人憑自己的能力,還是依附各種權勢。前者幾乎以一己之全力搏擊,而后者則可以四兩撥千斤,輕描淡寫之間即可左右他人的人生。利益集團在談笑之間便影響到中國改革的方向和進程,讓收入分配改革歷經 8 年未見蹤影。 也可以在此意義上來理解科學網。 各位網友本來各自在自己原有的群體中叱咤風云,現在科學網成為各位網友在自己的群體之外,得以秀出自己的時間箭頭,彼此間風云際會之處。各人均以自己獨特的方式展現自我,影響他人,也被他人所影響。編輯部給其中一些博文帶上小紅花、置頂,將另一些打入冷宮?茖W網較之所有的網友,包括影響力最大者,更大地影響到眾人各自的時間箭頭( 在科學網上迅速變老 ),體現了編輯部的價值觀,從而給科學網群體的時間箭頭的方向和速度深深地打下了自己的印記。( 什么是科學網的時間維? ; 再談科學網的時間維,建議圍繞若干專題深入討論 )。
個人分類: 簡介及學術方向|2327 次閱讀|6 個評論
分享 《走近混沌》-21-萬變中的不變
熱度 7 tianrong1945 2012-10-15 05:53
《走近混沌》-21-萬變中的不變
第二十一章﹕萬變中的不變 倍周期分岔現象的另一個重要特性是普適性。 除了生物群體數的變化之外,倍周期分岔現象還存在于其它很多非線性系統中。系統的參數變化時,系統的狀態數越來越多,返回某一狀態的周期加倍又加倍,最后從有序走向混沌。比如物理學中原來認為最簡單的單擺,也暗藏著混沌魔鬼,當外力加大時,新的頻率分量不斷出現,擺動周期不斷地加長,最后過渡到混沌;由美國華裔學者 蔡少 棠 首先研究的 混沌電路是倍周期分岔的又一個例子;此外,在金融股票市場,以至于社會群體活動中,都有魔鬼的身影,也有伴隨著的倍周期分岔現象。 到處都有倍周期分岔,以及接踵而至的混沌魔鬼,這是普適性的定性方面。普適性的另一個方面,定量方面,則與分岔的速度有關。 “分岔的速度?我注意到了,是越來越快的……”說話的是討論小組中的一個年輕新面孔,看起來像是個十五、六歲的中學生,王二介紹說這是林靈的弟弟林童,今年計算機系從高一學生中破格錄取的新生。林童看上去年輕,說話倒挺老練的,而且懂得的知識不少,確實是個小靈童。他指著圖( 20.4 )上面那張倍周期分岔圖給大家看。 圖中顯而易見,分岔的速度的確越來越快,相鄰兩個岔道口之間的距離越來越近。 “而且……”小靈童滿臉通紅,在這么十幾個大哥哥大姐姐面前,說話時略顯尷尬,欲言又止,不過,在林零眼神的鼓勵下,他繼續說下去,越說越流利: “這個圖……分岔的速度雖然越來越快,但增快時卻似乎遵循某種規律,就有點像重力場中的自由落體。在中學物理課中學牛頓定律時,那兒有個 g ,叫做重力加速度。牛頓看見蘋果掉下來,下落的速度越來越快、越來越快……但是,速度增加的比例卻是相同的!也就是說,自由落體的速度變快了,但加速度 g 卻是不變的。并且, g 的數值對任何下落的物體都一樣,它還與萬有引力常數 G 有關。所以,我就覺得,這個看起來層層相似的分岔圖中也可能有個什么不變的東西吧。后來,到網上一查,果然如此!原來在倍周期分岔圖這兒也有兩個普適常數,分別 叫做 d 和 a ,發現它們的人是費根鮑姆 ……” 米切爾·費根鮑姆( Mitchell Jay Feigenbaum , 1944- )是美國數學物理學家。父親是波蘭移民,母親是烏克蘭人。青少年時期的費根鮑姆默默無聞,也未曾表現出任何所謂天才或神童的氣質。但是,他喜歡思考、迷戀物理。博士畢業后,因為找不到一個好的固定工作而四處奔波了好幾年。后來,終于在 30 歲時就職于 新墨西哥 州的 洛斯阿拉莫斯國家實驗 室 。 洛斯阿拉莫斯實驗 室 是美國兩個研究核武器的主要實驗室之一,二戰時期的曼哈頓計劃就在這兒進行。 70 年代,那兒養了一大堆的物理學家及別的相關學科的技術人員,工資不低,研究經費也不少,既沒有教學任務,也沒有要及時趕出成果發表論文的壓力。 費根鮑姆在那兒悠哉游哉地如魚得水,盡管他當時在學術界還是一個無名小卒,只發表過一篇論文,但在他的理論部同事中間卻頗有聲名。一是因為他腦袋中經常冒出一些古怪的想法,打扮也有些不合潮流,滿頭卷曲的長發使他看起來像個古典音樂家。費根鮑姆出名的另外一個原因,是因為他的知識淵博,深思熟慮過很多問題,無形中已經成為了同行們有難題時的特別顧問。 他所在研究小組的課題是流體力學中的湍流現象 , 費根鮑姆需要 研究的是:威爾遜的重整化群思想是否可以解決湍流這個世紀老難題 。 開始時,費根鮑姆似乎并不十分鐘情于研究小組的這個課題,不過,因為湍流看起來一片混亂,有些像那兩年科學界人士熱衷的“混沌”,這個研究方向使得費根鮑姆了解并熟悉了氣象學家洛倫茨宣告的“蝴蝶效應”,以及邏輯斯蒂迭代時產生的混沌問題。 費根鮑姆對邏輯斯蒂方程的研究獨立于羅伯特·梅。那年,他得了一個能放在口袋里的 HP65 計算器,一有空閑,他便一邊散步、一邊抽煙,不時地還把計算器拿出來編寫幾句程序,研究令他著迷的邏輯斯蒂倍周期分岔現象。 圖( 21.1 ):費根鮑姆和他的 HP-65 計算器 現在看起來十分簡易、當時售價為 795 美元的 HP-65 是惠普公司的第一臺磁卡 - 可編程手持式計算器,用戶可以利用它編寫 100 多行的程序,還可將程序存儲在卡上,對磁卡進行讀寫。這在上世紀 70 年代已經顯得很了不得,因而, HP-65 的綽號為“超級明星”。 當“超級明星”和美國宇航員一起登上阿波羅進入太空的時候,在 新墨西哥 州 洛斯阿拉莫斯 邊遠山區的 費根鮑姆則用它來與邏輯斯蒂系統中的混沌魔鬼打交道,探索魔鬼出沒的規律。費根鮑姆喜歡寫點小程序,用計算來驗證物理猜想。早在十幾年前的大學時代,首次使用電腦時,他就在一小時之內寫出了一個用牛頓法開方的程序。 這次,費根鮑姆感興趣的是邏輯斯蒂分岔圖中出現得越來越多的那些三岔路口。他用計算器編程序算出每個三岔路口的坐標,即 k 值和相應的 x 無窮 值。畫在紙上,構成了圖( 21.2 )中的左圖。 圖( 21.2 ):費根鮑姆常數 和林童一樣,費根鮑姆也注意到了隨著 k 的增大,三岔路口到來得越來越快,越來越密集。從第一個三岔口 k 1 開始: k 1 =3 , k 2 =3.44948697, k 3 =3.5440903, k 4 =3.56 44073 , k 5 =3.56 87594 ……。僅僅從 k 的表面數值,費根鮑姆沒有看出什么名堂,于是,他又算出相鄰三岔路口間的距離 d : d 1 = k 2 -k 1 = 0.4495..., d 2 = k 3 -k 2 = 0.0946..., d 3 = k 4 -k 3 = 0.0203... , d 4 = k 5 -k 4 = 0.00435... 從這些 d 之間,費根鮑姆好像看出點規律來啦!每次算出的下一個 d ,都大約是上一個 d 的五分之一!當然,并不是準確的五分之一,而是比例值差不多!好像有個什么常數在這兒作怪,多計算幾項看看吧: d 1 /d 2 = 4.7514 , d 2 /d 3 = 4.6562 , d 3 /d 4 = 4.6683 , d 4 /d 5 = 4.6686 , d 5 /d 6 = 4.6692 , d 6 /d 7 = 4.6694 …… 你們看,上面列出的這些比值都很接近,但又并不完全相同,兩個相鄰比值之間的差別卻越來越小。費根鮑姆再計算下去,又多算了幾項后,便只能得到一樣的數值了,因為計算器的精度是有限的啊。于是,費根鮑姆便作了一個猜測,這個比值, (k n -k n-1 )/(k n+1 -k n ) 當 n 趨于無窮時,將收斂于一個極限值: d = 4.669201609 …… 同時,費根鮑姆也注意到,分岔后的寬度 w 也是越變越小,見圖( 21.2 )中所標示的 w 1 、 w 2 、 w 3 等等(這個寬度從 x=0.5 測量,圖中的紅線)。那么,它們的比值是否也符合某個規律呢?計算結果再次驗證了費根鮑姆的想法,當 n 趨于無窮時,比值 w n /w n+1 將收斂于另一個極限值: α= 2.502907875 …… 啊,原來這個分岔圖中隱藏著兩個常數!費根鮑姆深知物理常數對物理理論的重要,一個新概念、新理論的誕生往往伴隨著新常數的出現,比如牛頓力學中的萬有引力常數 G ,量子力學中的普朗克常數 h ,相對論中的光速 c ……諸如此類的例子太多了。新常數的發現也許能為新的革命性的物理理論打開新窗口。想到這兒,費根鮑姆欣喜若狂,立即打電話給他的父母,激動地告訴他們他發現了一些很不平凡的東西,他就要一鳴驚人了。 上一篇:《走近混沌》-20-混沌魔鬼不穩定 回到系列科普目錄 下一篇:《走近混沌》- 22-回到魔鬼聚合物
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分享 [轉載]分岔圖繪制不同方法的總結、比較
Kupeprntlkn 2010-8-30 22:32
經過近期的研究發現,目前對于系統單參數分岔圖的計算共有以下的幾種方法: 1)最大值法 即對系統微分方程(組)進行求解,對求解的結果用getmax函數進行取點,并繪圖。 2)Poincare截面法 對系統參數的每一次取值,繪制其Poincare截面,進而得到其分岔圖。 這種方法需要注意的是,自治系統的Poincare截面是選取一超平面,平面上點的分布即構成一Poincare截面,非自治系統的Poincare截面則是根據系統激勵的頻率進行取點并繪圖。 本帖將以Lorenz系統為例,對這兩種方法進行比較 首先對第二種方法進行闡述。 編程如下(matlab) Lorenz系統: function dy = Lorenz(t,y) % Lorenz系統 % 系統微分方程: % dx/dt = -a(x-y) % dy/dt = x(r-z)-y % dz/dt = xy-bz % a=y(4) % r=y(5) % b=y(6) dy=zeros(6,1); dy(1)=-y(4)*(y(1)-y(2)); dy(2)=y(1)*(y(5)-y(3))-y(2); dy(3)=y(1)*y(2)-y(6)*y(3); dy(4)=0; dy(5)=0; dy(6)=0; 隨r的分岔圖求解程序:按照x=y平面取截面 function Lorenz_bifur_r Z= =ode45('Lorenz', , ); =ode45('Lorenz', ,Y(length(Y),:)); Y(:,1)=Y(:,2)-Y(:,1); % 對計算結果進行判斷,如果點滿足x=y,則取點 for k=2:length(Y) f=k-1; if Y(k,1)0 if Y(f,1)0 y=Y(k,2)-Y(k,1)*(Y(f,2)-Y(k,2))/(Y(f,1)-Y(k,1)); Z= ; end else if Y(f,1)0 y=Y(k,2)-Y(k,1)*(Y(f,2)-Y(k,2))/(Y(f,1)-Y(k,1)); Z= ; end end end end plot(Z,'.','markersize',1) title('Lorenz映射分岔圖') xlabel('r'),ylabel('|y| where x=y') 結果如圖1所示。 getmax法取最大值法 function = getmax(y) a=length(y); j=1; for i=(a-1)/2:a b=(y(i,1)-y(i-2,1))/2; c=(y(i,1)+y(i-2,1))/2-y(i-1,1); if y(i-2,1)=y(i-1,1)y(i-1,1)=y(i,1)c==0 Xmax(j)=y(i-1,1); j=j+1; elseif y(i-2,1)=y(i-1,1)y(i-1,1)=y(i,1) Xmax(j)=y(i-1,1)-b^2/(4*c); j=j+1; end end function Lorenz_bifur_r_getmax % 最大值法求解分岔圖 clear all t0= ;%積分時間 %bifurcation for r=linspace(1,500,1000); %r的變化精度 =ode45('Lorenz',t0, ); =getmax(y(:,1)); plot(r,Xmax,'b','markersize',1) hold on clear Xmax end 計算結果如圖2所示! 最后上傳一下參考計算機仿真第22卷第12期上一篇文章李雅普諾夫指數的研究與仿真中Lorenz系統的分岔圖計算結果,大家比較一下即可看出孰優孰劣了!
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Kupeprntlkn 2010-8-30 22:32
經過近期的研究發現,目前對于系統單參數分岔圖的計算共有以下的幾種方法: 1)最大值法 即對系統微分方程(組)進行求解,對求解的結果用getmax函數進行取點,并繪圖。 2)Poincare截面法 對系統參數的每一次取值,繪制其Poincare截面,進而得到其分岔圖。 這種方法需要注意的是,自治系統的Poincare截面是選取一超平面,平面上點的分布即構成一Poincare截面,非自治系統的Poincare截面則是根據系統激勵的頻率進行取點并繪圖。 本帖將以Lorenz系統為例,對這兩種方法進行比較 首先對第二種方法進行闡述。 編程如下(matlab) Lorenz系統: function dy = Lorenz(t,y) % Lorenz系統 % 系統微分方程: % dx/dt = -a(x-y) % dy/dt = x(r-z)-y % dz/dt = xy-bz % a=y(4) % r=y(5) % b=y(6) dy=zeros(6,1); dy(1)=-y(4)*(y(1)-y(2)); dy(2)=y(1)*(y(5)-y(3))-y(2); dy(3)=y(1)*y(2)-y(6)*y(3); dy(4)=0; dy(5)=0; dy(6)=0; 隨r的分岔圖求解程序:按照x=y平面取截面 function Lorenz_bifur_r Z= =ode45('Lorenz', , ); =ode45('Lorenz', ,Y(length(Y),:)); Y(:,1)=Y(:,2)-Y(:,1); % 對計算結果進行判斷,如果點滿足x=y,則取點 for k=2:length(Y) f=k-1; if Y(k,1)0 if Y(f,1)0 y=Y(k,2)-Y(k,1)*(Y(f,2)-Y(k,2))/(Y(f,1)-Y(k,1)); Z= ; end else if Y(f,1)0 y=Y(k,2)-Y(k,1)*(Y(f,2)-Y(k,2))/(Y(f,1)-Y(k,1)); Z= ; end end end end plot(Z,'.','markersize',1) title('Lorenz映射分岔圖') xlabel('r'),ylabel('|y| where x=y') 結果如圖1所示。 getmax法取最大值法 function = getmax(y) a=length(y); j=1; for i=(a-1)/2:a b=(y(i,1)-y(i-2,1))/2; c=(y(i,1)+y(i-2,1))/2-y(i-1,1); if y(i-2,1)=y(i-1,1)y(i-1,1)=y(i,1)c==0 Xmax(j)=y(i-1,1); j=j+1; elseif y(i-2,1)=y(i-1,1)y(i-1,1)=y(i,1) Xmax(j)=y(i-1,1)-b^2/(4*c); j=j+1; end end function Lorenz_bifur_r_getmax % 最大值法求解分岔圖 clear all t0= ;%積分時間 %bifurcation for r=linspace(1,500,1000); %r的變化精度 =ode45('Lorenz',t0, ); =getmax(y(:,1)); plot(r,Xmax,'b','markersize',1) hold on clear Xmax end 計算結果如圖2所示! 最后上傳一下參考計算機仿真第22卷第12期上一篇文章李雅普諾夫指數的研究與仿真中Lorenz系統的分岔圖計算結果,大家比較一下即可看出孰優孰劣了!
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