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彩虹,并不是反射和折射這么簡單

已有 612 次閱讀 2019-4-16 20:23 |系統分類:科研筆記

彩虹的原理是什么?大部分人都會回答,太陽光被空氣中的小水滴折射,形成了紅橙黃綠青靛紫漂亮的光環。如果繼續思考,會發現只靠折射,折射光跟太陽光在一個方向,太陽光將蓋過彩虹的七色,而且呈現的應該是外紫內紅的七色(我們有時候確實能在彩虹的外側,看到外紫內紅的霓,但產生機制是在水滴內部經過兩次反射,在下文會提到)。所以,加上反射,即太陽光進入小水滴后,經過一次反射后,再折射到空氣中,色散的七色光背對太陽,而且外紅內紫,問題似乎就解決了。當然,知道這些,應付中考應該是沒問題了。然而繼續深入下去,會發現問題并非那么簡單。

事實上,根據不同的受力情況和水滴大小,小水滴可以呈現球形、橢圓、上圓下扁不同形狀。但為方便討論,將小水滴近似看成一個球體。

首先,第一個問題,為什么我們看到的彩虹出現在40°42°夾角的位置(夾角為入射光和出射光的夾角的補角)?

由于太陽光是平行光,在水滴的向陽面的每個地方都會有陽光射入其中。如圖所示,根據入射角的不同,出射光的位置也不一樣。每一條入射光線確實能色散成七色,但許多平行光線疊加后,呈現的仍是白光。

1.png

我們之所以能在40°42°夾角看到彩虹,是因為在這個夾角范圍內,出射光最密集。換句話說,在其他角度范圍,由于出射光強度太弱,人眼無法看到。下面做簡單證明。

我們設入射光角度為θ1,折射光角度為θ2,經過第一次折射,角度改變了θ1-θ2,經過一次反射,角度改變π-θ2,設經過m次反射(若只考慮主虹,m取1),最后經折射,出射光進入空氣中,總的偏轉角度D為2(θ1-θ2)+m(π-θ2)。

2.png

利用python簡單畫了m=1時,關于θ1的D函數散點圖,紅色點對應紅光,紫色點對應紫光。θ1的取值范圍為0-90°,每0.5°取一個點。顯然,在D=140°左右,點最密,即出射光的強度最大。4.png

我們也可以根據sinθ1=nsinθ2(n為折射率),求D關于θ1的導數,最小值對應的θ1滿足

對于主虹,m=1,即。

紅光的折射率為1.3318,對應的θ1為59.48°,D為137.75°,其補角為42.25°。

紫光的折射率為1.3435,對應的θ1為58.80°,D為139.42°,其補角為40.58°。

對于霓,m=2。因為多了一次反射,霓的強度比虹小,這就是為什么大多數情況下我們只能看到一條彩虹的原因。隨著m的增大,出射光強度減小。當光強減小到一定程度時,人眼便無法感知到。

具體計算如下:

5.png


太陽光也可以在水滴之間被多次折射和反射。

第二個問題,復虹。下圖為美國男子John Entwistle在新澤西州拍到的罕見的5道彩虹。這是什么神仙運氣,為什么我連兩道彩虹都沒看到過……

303a9ed3f4904e69b58bcc58903e9368.jpg

第三個問題,為什么彩虹是半個環形的?

明早有課,有空再寫

歡迎指正。



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1 馬德義

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