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數列{a_n}收斂的一個充要刻畫

已有 1748 次閱讀 2013-5-14 15:25 |個人分類:數學分析|系統分類:科研筆記|關鍵詞:&,lt,a,href=&,quot,http://www.ueservicedoffices.com/home.php?mod=spacecp&,amp,ac=relatekw&,amp,inajax=1&,amp,subjectenc=數列{a_n}收斂的一個充要刻畫&,amp,messageenc=&,quot,,target=&,quot,_blank&,quot,,style=&,quot,color:red&,quot,&,gt,內部錯| quot, amp, 內部錯

在閱讀文獻時,文中隱含應用了以下結論:

命題:數列{a_n}收斂到a的充分必要條件是{a_n}的任何子列均有子列收斂到a。

但是本人孤陋寡聞,不知哪里有它的證明,于是發動同學室友共同攻克之,得到以下證明,這是大家共同討論的結果。

必要性是顯然的。

下證充分性,即若 {a_n}的任何子列均有子列收斂到a,則數列{a_n}收斂到a。

反證法,假設數列{a_n}不收斂到a,那么將會有以下情況:

(1) {a_n}收斂到b, b不等于a。由已知條件知b必須等于a, 矛盾。

(2) {a_n}沒有極限,即發散。這種情形又分為下述情況:

(2a) {a_n}是無界列。也就是說它有子列趨于無窮。此時,我們可以取到{a_n}的子列{b_n}使得

b_n > n, n=1,2,3 ...

顯然{b_n}不可能有子列收斂到a, 矛盾。

(2b)  {a_n}是有界列。此時{a_n}任何子列均有收斂子列,它發散只可能是兩個子列極限不相等,即存在{a_n}的子列{b_n}收斂到b, b不等于a。我們可以找到{b_n}的子列{B_n}使得

|B_n — b| < |b-a|/n, n=1,2,3 ...

此時,{B_n}自然是{a_n}的某個子列,但是它的任何子列均不收斂到a。矛盾。

綜合以上情況,結論得證。

 

水平有限,希望大家多多指教。



http://www.ueservicedoffices.com/blog-272323-689889.html


1 張啟峰

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