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泛維矩陣的數學理論 精選

已有 3025 次閱讀 2019-6-9 17:20 |個人分類:科研|系統分類:科研筆記

 

泛維矩陣的數學理論

 

 

矩陣理論無論對自然科學還是數學本身,都是最重要的基本工具之一。 矩陣的概念早已有之,它就誕生于我們的祖國。在Katz的數學史一書中指出:“矩陣的概念有很長的歷史,它至少可以追遡到漢朝,中國的學者為解線性方程組而引進了矩陣 [1]!倍仃嚴碚撜嬲蔀橐粋數學分支還主要是在十九世紀,由于 A. Cayley, J.J. Sylvester, G. Frobenius, 等人的工作。

 

雖然矩陣理論是一個非常有用的工具,但它仍有一些弱點。首先,從計算角度看, 它不像數的運算那樣具有一般性。主要區別在于  (i)  矩陣乘法有維數限制; (ii) 矩陣乘法不可交換。其次,從應用角度看,矩陣(以及作為它特例的向量) 在描述和研究一維或二維數組時十分有效。但是,如果討論高維數組,矩陣方法并不方便。

 

因此,上個世紀八十年代,一些學者提出用“立體矩陣”來刻畫三維數組。立體矩陣公式復雜,并且無法推廣到更高維數組中去。還有如多邊矩陣理論等,試圖解決這些問題。

雖然立體矩陣甚至多邊矩陣都得到了一些應用,但由于其計算上的復雜性妨礙了它們的發展。

 

經過若干年的前期探索,矩陣半張量積理論于 2001 年被正式推出 [2]。 矩陣半張量積是矩陣普通乘積的一種推廣,它可用于任意兩個矩陣,因此突破了普通矩陣乘法的維數限制。它具有若干“交換”性質, 在一定程度上克服了矩陣乘法的不可交換性。它可以方便地應用于多線性映射,從而使矩陣方法可以有效地處理高維數組。更為突出的一個優點是,所有的普通矩陣乘法的主要性質都被這種推廣保留了下來。

 

正是由于矩陣半張量積的這些優點,它出現之后迅速得到廣泛的應用。它最初主要應用于連續動態系統的建模、控制及其數值化實現,例如在電力系統安全穩定控制中的應用[3]。2008 年以后,它被用于邏輯系統的分析與控制,得到很大成功,初步形成了較完整的邏輯系統的控制理論 [4]。從2012年開始,它又被應用于有限博弈 [5,6],解決了博弈論中一些長期未決的難題,例如,勢博弈的檢驗問題 [7],有限博弈空間的分解問題 [8,9],等。

 

目前,矩陣半張量積已被運用到眾多領域的研究中,包括 (i) 邏輯動態系統,(ii) 生物系統

(基因調控網絡),(iii) 圖論與隊型控制,(iv) 線路設計與故障檢測, (v) 有限自動機與

符號動力學,(vi) 密碼學與編碼,(vii) 模糊系統控制,等。 此外,它還被成功地應用于電

力系統,混合動力機車等工程問題的設計中。更多的情況可參考一些國內、外學者關于矩陣

半張量積的綜述文章 [10,11,12]。

 

矩陣半張量積的研究隊伍正不斷擴大,相關論文上千篇,作者包括(不完全統計) 國內單位:北京大學、清華大學、哈爾濱工業大學、哈爾濱工程大學、東北大學、青島海洋大學、北京理工大學、北京郵電大學、南開大學、山東大學、山東師范大學、聊城大學、上海交通大學、同濟大學、東南大學、南京師范大學、成都電子科技大學、中南大京、華南理工大學、浙江師范大學、華東科技大學、山東科技大學、河北工業大學、中科院系統所、中科院信息安全所, 等。國際學者來自意大利、以色列、日本、美國、英國、俄羅斯、瑞典、南非、德國,澳大利亞,匈牙利,新加坡、伊朗、沙特阿拉伯, 等。

 

到目前為止,關于矩陣半張量積的研究主要集中于它的應用。在它的發展過程中也遇到許多質疑:包括它的原創性,它的合理性,等等。特別是關于它的數學內涵的質疑,讓我們開始探索矩陣半張量積背后的數學 —— 究竟矩陣半張量積會帶來什么樣的新的數學結構?本文的目的是向大家匯報一下我們近兩、三年在這方面十分初步的一些工作。本文介紹的內容

大多可在我們的長文 [13] 和專著 [14] 中找到。

 

首先,將不同維數的矩陣(包括向量和數)放到一起,這個無所不包的集合稱為我們的泛維矩陣集合(記作 M), 它就是我們的研究對象。矩陣半張量積就定義在這個M上,它讓M變成一個么半群。 我們發現,這個么半群上有太豐富的代數結構,幾何結構,以及動力學結構等。 它們都不能被現有的數學理論所涵蓋,這些構成我們稱之為泛維矩陣的數學理論。雖然我們在這里拾了一、兩片貝殼,但它仍然是一片等待開墾的荒灘。下面列舉幾個我們正在探索的框架性問題:

 

  1. 等價類:

    兩個矩陣在么半群M 中稱為是等價的,如果它們在矩陣半張量積下起的作用是一樣的。等價類具有格結構。兩個等價矩陣大小可以不一樣,但形狀必須是一樣的。因此,我們將M分成許多份,記作Mr ,這里 r 是矩陣行數與列數之比, 因此,Mr 中的矩陣形狀都是一樣的。 Mr 上可以定義加法, 即用兩個矩陣各自等價類中相同大小的兩個代表元相加。 于是,Mr 成為一個跨維數的(準)向量空間。

  2. 跨維數的李代數與李群:

    現在考慮 M1 ,即所有方陣集合。用矩陣半張量積代替普通矩陣乘積,即可得到M1 上的一個李代數結構, 稱其為一般線性代數?梢宰C明,它雖然是一個無窮維李代數,卻有有窮維李代數的幾乎所有性質:從冪零,單代數,到 Killing Form 的性質, 等。 這個跨維數的一般線性代數有與固定維數的一般線性代數類似的子代數,它們會生成跨維數的一般線性群及其子群。還可望找到它們相應的表現理論。  

  3. 商空間:

    等價類形成商空間,Mr 上的商空間記作 Qr , 它是真正的向量空間。適當定義內積,使之成為內積空間,并進而定義范數與距離。Qr 上可以定義不同的拓撲,如商空間拓撲,乘積拓撲及距離拓撲等。它們之間的關系還有待進一步厘清 [15]。

    (4)     纖維叢:

    從矩陣空間到商空間的自然投影構成一個纖維叢結構, 稱為離散叢。 這個纖維叢的每一片葉子是一個固定維數的微分流形,它們給基空間(等價類空間)一個泛維微分流形結構。于是,可產生相應的泛維向量場,張量場,積分曲線,分布等一系列幾何結構。 

    (5)     泛維向量空間:

    將不同維數的向量空間放到一起,形成一個泛維向量集合。在不同維數向量間定義加法。 在加法中起相同作用的向量稱為等價的。通過定義內積使泛維向量空間成一拓撲空間。將泛維矩陣半群作用于泛維向量空間,有許多新的現象出現,例如,非方矩陣的特征值與特征向量, 等。需要擴展現有的固定維數矩陣理論。

     

    6  變維數動態系統:

    變維數動態系統有廣泛的應用背景,       如空間飛行器對接,汽車離合系統等。 將半群 Qr 作用在泛維向量空間的(等價)商空間上,可望為變維數動態系統提供一個恰當的數學模型。從離散時間到連續時間,從自治系統到控制系統,這里有大量研究工作尚待開展 [16]。

     

    2019 年是矩陣半張量研究快速發展的一年。這一年,我們成立了自動化學會控制理論專業委員會《邏輯系統控制》學組,并成功召開了學組的第一次學術研討會。我們在聊城大學成立了《矩陣半張量積理論與應用研究中心》, 越來越多的年輕人加入了我們的隊伍,成為矩陣半張量積理論和應用研究的中堅力量。矩陣半張量積理論是一個真正中國人原創的, 以中國學者為主的, 同時具有理論和應用價值的科研方向。它正吸引著越來越多的國內外學者參加這個新方向的開拓。我們的目標是:打造一個中國品牌的新學科,引領國際上該方向的研究。我們正在創造歷史,歷史也必將記住我們。

     

    參考文獻:

    [1] V.J. Katz, A History of Mathematics: Brief Version, Addison-Vesley, New York, 2004.

    [2] D. Cheng, Semi-tensor product of matrices and its application to Morgan’s problem, Sci. China, Ser. F. Inform. Sci., Vol. 44, No. 2, 195-212, 2001.

    [3] 梅生偉,劉鋒、薛安成,《電力系統暫態分析中的半張量積方法》,清華大學出版社,北京,2010.

    [4] D. Cheng, H. Qi, Z. Li, Analysis and Control of Boolean Networks, Springer, London, 2011.

    [5] D. Cheng, H. Qi, Y. Zhao, An Introduction to Semi-tensor Product of Matrices and Its Applications, World Scientific, Singapore, 2012.

    [6] Pl Guo, Y. Wang, H. Li, Algebraic formulation ans strategy optimization for a class of evolutionary networked games via semi-tensor product method, Automatica, Vol. 49, 3384-3389, 2013.  

    [7] D. Cheng, On finite potential games, Automatica, Vol. 50, No. 7, 1793-1801, 2014.

    [8] D. Cheng, T. Liu, K. Zhang, On decomposed subspaces of finite games, IEEE Trans. Aut. Contr., Vol. 61, No. 11, 3651-3656, 2016.

    [9] Y. Hao, D. Cheng, On skew-symmetric games, J. Franklin Inst., Vol. 355, 3196-3220, 2018.

    [10] J. Lu, H. Li, Y. Liu, F. Li, Survey on semi-tensor product method with its applications in logical networks and other finite-valued systems, IET Contr. Thm & Appl., Vol. 11, No. 13, 2040-2047, 2017.

    [11] E. Fornasini, M.E. Valcher, Recent developments in Boolean networks control,  J. Contr. Dec., Vol. 3, No. 1, 1-18, 2016.

    [12] A. Muhammad, A. Rushdi, F.A. M. Ghaleb, A tutorial exposition of semi-tensor products of matrices with a stress on their representation of Boolean function, JKAU Comp. Sci., Vol. 5, 3-30, 2016.

    [13] D. Cheng, On equivalence of matrices, Asian J. Mathematics, Vol. 23, No. 2, 257-348, 2019.

    [14] D. Cheng, From Dimension-Free Matrix Theory to Cross-Dimensional Dynamic Systems, Elsevier, London, 2019.

    [15] D. Cheng, Z. Liu, Topologies on quotient space of matrices via semi-tensor product, Asian J. Contr., (to appear), arXiv: 1810.12773v2.

    [16] D. Cheng, Z. Xu, T. Shen, Equivalence-based model of dimension-varying linear systems, TEEE Trans. Aut. Contr., (under revision), arXiv:1810.03520v2.

     

    程代展,2019,6,9.



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