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高等代數教學計劃與方案

已有 1159 次閱讀 2019-4-27 09:29 |個人分類:大學數學|系統分類:教學心得

高等代數教學計劃與方案

王永暉


高等代數,我是分別采用三本書,對應了學生的三個階段,也分別對應地解決了高等代數、即線性代數的三大問題。


一 線性方程組的求解問題

這個階段,使用同濟大學的《線性代數》教材,好處是,這本書很薄,但實際上它的很多證明很精妙,簡潔。這對于大一新生第一學期的入門來說,實際上是很有必要的。


這本書的內容,其實就第一階段的范圍之內來看,并不比數學系相應教材少,而且因為突出了矩陣思想,更適合入門。


我當年也是因為曾經教過非數學系的線性代數課程,才了解這本書的,使用之后才發現這個特點。


我在2011級數學系實驗班的教學中,第一學期就采用了這本教材?赡墚敃r數學系的一些同事,還私下里(善意地)笑話我了一下。不過,當時的院長李慶忠老師非常尊重老師們的個人決定,同意了我的這種做法。


其實,我們首師大數學系的大一新生,跟其他系的學生,在數學水平上并無區別,對于他們來講,直接上過于抽象的體系,會非常痛苦,基本上就打趴下了,什么也學不到,虛度四年大學時光。


到了大三的時候,問他們那些基本概念,基本定義,就全忘光了。其中還有不少是想考研的。


二   什么是維數。

這個階段,則使用傳統的數學系教材,北京大學的《高等代數》,石生明,王萼芳兩位老師所寫。要說的是,石生明老師從90年代就調到首師大數學系工作。


第二學期采用這本書,會跟第一學期教材有一定的重復,正好當做復習,也是很有必要的。講的時候,第一章,多項式理論,是一個難點,以往消耗課時過多,容易耽擱大一新生第一學期的進度,F在放到第二學期,同學們已經經過第一學期的大學數學思維鍛煉,情況會好很多。


維數問題,對應書中的線性無關性和線性空間,章節講授順序,見下文微調部分的第1項。


三  特征值問題(譜理論)

這個階段,我們使用國外大學教材,是專門為數學系學生所寫的線性代數教材,《Linear Algebra Done Right》.其假設也是學生已經學過了普通的線性代數之后,進一步深造才學的。


這個教材,把國內傳統的特征值這一塊內容,接軌于現代數學的想法,叫做譜理論,學了這一塊兒內容之后,到高年級的時候,接觸泛函分析,就會自然得多。


很可惜的是,國內高等代數教材,出了很多,大多只是新瓶裝舊酒,內容搬來搬去,或者最多做一些微調而已。Linear Algebra Done Right這本書,是在內容覆蓋上,遠遠超過了國內教材,寫的東西,處理的方法,國內教材就沒有。


這本國外教材,雖然也有中文翻譯版了,但是我們使用的時候,還是提倡學生直接看英文原版。畢竟是大二學生了,很多學生還想著出國,或者考研,數學學習方面,還是要學會看英文原版書。


不過,不建議大一新生一上來就使用英文原版,效果不會好,因為,數學難度,和英文閱讀難度,兩個加在一起,就超過大一新生負荷了。


因為首師大第一學期的課時比較少,所以,我往往只能是在第三學期完成這部分內容,或者由學生自愿組織起本科生討論班,私下里進行。


可能會有某些老師不希望增加低年級基礎課的課程時間,但是,我覺得有兩個理由,

一、我們增加的內容,不是傳統教材上的內容,本身就是新的,是可以承接高年級課程,如泛函分析等,只不過是有限維空間上的而已,正好可以作為高年級課程的例子。再者,相對于抽象代數,其實線性代數的很多知識,更具有現代性。我們就已經有老師,在研究生抽象代數基礎課上,增加了其中線性代數部分的比例,如果有本科內容去銜接,效果肯定就更好。

二、首師大數學系的學生,水平只能慢慢地一點一點兒往上漲,而且很多是師范生,他們能把東西一點一點兒吃進去就行了,不必求在速度了。

我想,老師們所最注重的,應該都是一致的,大家還都是有共識的,那就是學生真正養成數學能力,把學到的東西,真正學會了,對于首師大的生源水平來說,低年級階段的攀爬時間,是必要的。


鑒于上面的框架,有幾個微調,

1a. 第二學期的課程,如果課時有限的條件下,可以先不講高代書上的特征值內容,即第7章和第8章。等到第三學期,直接使用Linear Algebra Done Right上的講法就可以,而且,Linear Algebra Done Right講的時候,必然跟第二學期又有一些重復,即線性空間這一部分。

       這種重復是必要的。同樣的定理,不同理念下的處理方法,會讓學生大開眼界。

1b. 多項式理論,在書中的用處有兩個地方,一個是特征值,一個是歐氏空間。所以,第二學期講課的時候,也可以不按照原書順序來講?梢灾苯酉戎v線性無關性(復習),線性空間,然后再是多項式理論,高代書的第一章和第五章,最后是歐氏空間。

2. 行列式的定義,為什么要那么定義,中國教材中一般都沒講到,我查到的書中,好像只有中科大的線性代數講到了。國外教材,則可見于Serge Lang的本科生教材 Linear Algebra。

       即行列式的唯一性定理,一個函數,滿足行列式的那些基本性質之后,這個函數只能是行列式。其幾何解釋是體積,那么如何利用這種體積的理解,去證明Cramer法則。


以往教學,第三學期的嘗試,或者是使用抽象代數課堂的一部分課時,或者是只能在學生自愿組織的本科生討論班里進行,已經進行過兩屆學生,第一屆40人,第二屆7人。


希望以后進一步教學改革的時候,能夠更順暢些。譜理論這塊內容,怎么說都還是值得加入的。










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