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清華筆記:計算共形幾何講義 (11)黎曼映照(Riemann Mapping)的存在性 精選

已有 1667 次閱讀 2019-5-23 09:28 |系統分類:科研筆記

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共形幾何中最為大家所熟識的定理大概非黎曼映照莫屬,其證明方法也是豐富多彩,各有千秋。這里,我們回憶一下經典的復分析手法,樸素初等,但是非常具有代表性。在復分析中,標準共形映射的存在性證明,一般都遵循如下的方法:首先定義一個全純函數的正規族,然后考察函數的Taylor(或者Laurent)級數展開,構造一個序列使得某一個系數取得極值,由正規族的緊性得到極值函數的存在性,再證明這個極值函數就是所要求得的共形映射。我們下面的證明就是采用這種手法。

黎曼映照定理

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圖1. 黎曼映照(Riemann Mapping)。



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圖2. 莫比烏斯變換(Mobisu Transformation)。


唯一性證明




存在性證明


Schwartz-Christoffel 映射


原文發布在【老顧談幾何】公眾號 (2017年7月17日)



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