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清華筆記:計算共形幾何講義 (10)紀念米爾扎哈尼——泰希米勒(Teichmuller)空間 精選

已有 1811 次閱讀 2019-5-19 09:03 |系統分類:科研筆記

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多年以前,我還在哈佛求學,導師丘成桐先生叮囑我要研究柯蒂斯. 麥克馬倫(Curtis McMullen)的理論,McMullen用組合的方法來研究共形結構,非常適合計算。丘先生自己也在哈佛的研究生課程上講解這個理論。多少年來,我和合作者、學生們一直致力于探索這一方向,例如我們前不久基于全純二次微分的計算曲面葉狀結構(foliation)方法。后來,McMullen果然獲得了菲爾茲獎,這使得我們非常敬佩丘先生的眼光。


后來,有一次我訪問哈佛的時候,恰逢McMullen和他的一名研究生討論泰希米勒空間問題。那名女研究生比較瘦小,但是聯想異常豐富,將泰希米勒空間的不同理論大膽地聯系起來,縱橫捭闔,氣魄恢弘。McMullen反倒顯得非常溫和謹慎,不停地提醒她猜測的嚴密性。


再后來,羅鋒教授的弟子楊田博士畢業,前去斯坦福深造,追隨一位伊朗裔的女數學家米爾扎哈尼(Maryam Mirzakhni)。當時聽說米爾扎哈尼證明了一個舉世震驚的結果,發明了計算泰希米勒空間體積的方法。一兩年后,米爾扎哈尼由此獲得了菲爾茲獎,成為歷史上首位女菲爾茲獎得主。這令我們非常欽佩羅鋒和楊田的眼光。


泰希米勒空間是所有拓撲同胚的黎曼面構成的空間,每個點代表一類曲面,每條曲線代表一個形變過程。更為奇妙的是泰希米勒空間具有黎曼度量,兩個曲面間可以測量距離。因此泰希米勒空間理論是計算機視覺中“形狀空間”理論的絕佳候選。我們在這方面進行了十數年的探索,發明了計算泰希米勒空間黎曼度量的算法。


昨天(2017年7月15日)驚聞米爾扎哈尼英年早逝,看到照片突然想起當年和McMullen討論泰希米勒空間的女孩就是米爾扎哈尼。人生無常,天妒紅顏。唏噓慨嘆之余,我想我們最好的紀念方式就是將米爾扎哈尼發明的泰希米勒空間測地流理論透徹理解,轉換成計算機算法,讓她的思想進一步影響人類社會。



拓撲環面的泰希米勒空間


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圖4. 虧格為一的曲面的共形模。



?臻g



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圖5. 拓撲輪胎的?臻g。


簡單計算表明,輪胎的?臻g同胚于圖5中的陰影區域:



我們可以看出?臻g具有奇異點,因而整體不是流形,而是orbifold。


周期矩陣

前面我們已經討論了低虧格曲面的共形不變量和它們基于全純微分的構造方法。在這里,我們討論高虧格曲面的情形。

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圖6. 虧格為二的曲面,及其上的一族標準同倫群基底。


如圖6所示,假設S是一拓撲曲面,帶有標準同倫群基底

我們在曲面上配備不同的黎曼度量,然后判斷何時存在同倫于恒同映射的保角變換

這等價于求度量曲面的Teichmuller共形等價的不變量。

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圖7. 虧格為二的封閉曲面上全純一次微分群的基底。


黎曼參模問題

1857年,黎曼提出了著名的Riemann參模問題,他猜測虧格為g的黎曼面,其?臻g可以由3g-3個復數進行描述。這個問題的微分幾何提法如下。假設給定兩張虧格為g的帶度量曲面,如果它們之間存在一個保角微分同胚,則它們彼此共形等價。所有的共形等價類構成的空間被稱為?臻g,



黎曼猜測?臻g的維數為復3g-3。


雖然已經過了150多年,人類迄今為止依然沒有完全理解?臻g的結構。這個問題一個巨大突破發生在1940年代,由泰希米勒(Teichmuller)完成。Teichmuller在1939年開始創立Tiechmuller理論。很可惜的是,Teichmuller狂熱地崇拜納粹主義,于1943年死于戰場,時年30歲。但是,他的思想過于超前,在他死后幾十年后,人們才逐漸理解并接受了他的想法。雖然,數學家們并不贊同他的政治理念,但在數學史上,依然給了他崇高的地位。


Teichmuller考慮的是?臻g的萬有覆蓋空間 - Teichmuller空間,其關系可以表述成

?臻g等于Teichmuller空間關于曲面映射類群的商空間。首先我們用Poincare-Koebe單值化定理來考察Teichmuller空間(?臻g)的維數。顯然,所有虧格為零的度量曲面都可以保角地映射到單位球面上,所以所有的零虧格度量曲面都共形等價,換言之零虧格曲面的Teichmuller空間只有一個點,維數為零。

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圖8. 曲面單值化定理。


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圖9. 曲面的褲子分解。



有另外一種更為直觀的方法證實黎曼模參數猜測-褲子分解。我們在曲面上找到3g-3條簡單閉曲線,將曲面分割為2g-2條“褲子”。我們設曲面的度量為雙曲度量,3g-3條分割線為測地線。所謂“褲子”就是虧格為0的曲面帶有三條邊界。圖10顯示了一條雙曲褲子,三條邊界皆為測地線。連接兩條邊界的最短線必然為測地線。沿著三條最短線將曲面切開,我們得到兩個全等的雙曲六邊形,每個內角都為直角,每條邊都為測地線。如果兩條雙曲褲子,對應的邊界長度相同,則他們必然等距。所以如果3g-3條切割線的長度相同,則所有對應的褲子都等距。


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圖10. 雙曲褲子的共形模是邊界測地線長度。



但是,兩條褲子沿著公共邊界測地線粘合的時候,其中的一條褲子可以相對于另外一條褲子轉動。所以我們需要每條割線的長度,和這條割線兩側褲子粘合時的相對扭角來描述整個雙曲曲面,共需6g-6個實數參數。

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圖11. 計算相對扭角的方法。



圖11給出了一種計算扭角的方法。雙曲曲面被分解為三種基本構建單元,每個單元的邊界為測地線, 如圖所示的所有同倫類中的測地線都被計算出來。從這些測地線的長度,我們可以推演出扭角。由此,曲面的Teichmuller空間為6g-6實數維。


后繼的課程,我們會講解如何計算Teichmuller空間的黎曼度量,由此衡量形狀之間的距離。

原文發布在【老顧談幾何】公眾號 (2017年7月14日)



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