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清華筆記:計算共形幾何講義 (7)矢量場設計 精選

已有 2346 次閱讀 2019-4-30 11:26 |系統分類:科研筆記

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漫長的課程至此,我們終于可以應用所學的理論工具來分析解決一些實際問題了。我們學習了曲面的代數拓撲和 微分拓撲,de Rham上同調的霍奇理論,作為應用實例,我們討論如何構造曲面上光滑矢量場的問題,這一問題對于設計卡通動物的毛發具有根本的重要性;同時,這一個例子可以使我們對所學的各種概念融匯貫通。這次課程的視頻可以在【1】的后半部找到,具體算法可以在【2】中找到。

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根據矢量場的Hopf指標定理,矢量場必有奇異點。假設用戶指定了奇異點的位置和指標,我們的算法應該可以自動生成光滑矢量場,具有指定的奇異點。我們的算法用到了Ricci flow,平行移動等概念工具,但最為重要的是holonomy,和用調和微分形式對holonomy的補償。

平行移動


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高斯-博內定理

平面上的平行移動只和起點和終點有關,和平行移動所經歷的路徑無關。換言之,如果是平面上的一條封閉曲線,沿著平行移動矢量得到,則重合。

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圖2.  高斯-博內定理。


和樂群


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圖3.  曲面基本群生成元。



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圖4.  虧格為0的曲面上只有一個零點的光滑向量場。

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圖5.  虧格為2的曲面上只有一個零點的矢量場。

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圖6.  曲面上的矢量場設計,零點由用戶指定。

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圖7.   將曲面轉換成編織模型。

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圖8.  將曲面轉換成編織模型。

同樣的方法,也可以用于生成曲面上的光滑標架場。如圖6所示,曲面上的標架場用于自動生成鉛筆素描畫,這可以用計算機來模擬藝術家來進行非真實感繪制。圖7和圖8顯示了將曲面自動轉換成編織模型,這為數字制造提供了新穎的思路。



References:

【1】http://m.iqiyi.com/w_19rtoay4k9.html#vfrm=8-8-u-1

【2】Lai, Yu-Kun, et al. "Metric-driven rosyfield design and remeshing." IEEETransactions on Visualization and Computer Graphics 16.1 (2010): 95-108.


原文發布在【老顧談幾何】公眾號 (2017年7月13日)



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3 黃永義 王安良 張學文

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