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終結猜想-9-四面體方程 精選

已有 4630 次閱讀 2019-6-13 08:19 |個人分類:追夢|系統分類:科研筆記

 

人們探索大自然的奧秘的步伐不會停止,在了解到-三角關系、-巴克斯特(Yang-Baxter關系對求解二維伊辛模型的重要性之后,人們自然地將目光看向三維伊辛模型。-巴克斯特方程僅僅可以用來求解二維伊辛模型,人們需要用所謂的四面體方程,或者復合-巴克斯特方程來處理三維模型。這方面,前蘇聯的科學家做出杰出的貢獻。通過查閱相關文獻,大呆從心底里折服于前蘇聯科學家深厚的數理功底、不畏困難的探索精神、甘于做冷板凳的品格。二維伊辛模型已經是一個非常復雜的問題,前蘇聯科學家勇于向三維模型發起挑戰,盡管沒有完成精確求解三維伊辛模型的任務,但是他們在探索的過程中還是發現了一些規律性的東西。四面體方程就是他們智慧的結晶,對后人充分理解三維伊辛模型的數學結構有重要的啟發價值。體會到四面體方程的復雜度以及其精妙之處,大呆不禁拍案驚奇。

什么是四面體方程,或者復合-巴克斯特方程?

四面體方程就是復合-巴克斯特方程。復合-巴克斯特方程就是將二維的-巴克斯特方程向三維推廣。-巴克斯特方程對應著拓撲學中的IIIReidemeister移動,由三根線的不同擺放位置形成等價關系。而三維情況下,原來的每根線變成被一根線糖葫蘆一樣穿起來的N條線,即形成復合的線,這些復合的線之間滿足新的-巴克斯特方程。也就是說,N-巴克斯特方程被三條線穿起來(復合),這即是復合-巴克斯特方程。這個復合-巴克斯特方程的圖形可以被化簡為由六條線構成的四面體圖形,四面體方程就是表征兩個四面體圖形的等價關系。四面體方程也可以描述成一個菱形十二面體(四個嵌套著的六面體)與另外一個菱形十二面體的等價關系。

Zamolodchikov 引入四面體方程作為-巴克斯特方程的三維推廣,找到一個特解。被權重函數滿足的四面體方程扮演一個非常重要的角色,它類似于-巴克斯特方程,具有由權重函數構成的層與層轉移矩陣的對易性?梢詮淖饔迷谀P偷木钟蚪y計權重上的四面體方程導出如轉移矩陣的對易性那樣的全局性質。這些局域的對稱關系可以用來推導模型的全局性質,其原因是它可以關聯晶格所有交叉點的局域統計權重,從而使四面體關系以及它的倒關系在晶格的所有地方均成立,且保持配分函數不變。

Stroganov總結了-巴克斯特方程的三維推廣的結果,并討論了簡單立方晶格統計自旋模型的可積性條件(即四面體方程)。三維統計系統可以處理成一個具有復合權重的二維系統。其技巧是,沿第三個方向投影立方晶格導致一個帶有有效Boltzmann權重的二次(平面)晶格。2個轉移矩陣VV'對易的充分條件是復合權重R12R14滿足-巴克斯特方程:。然后,如果存在一個輔助的非簡并矩陣以至,且M個輔助矩陣 的乘積的跡相等,系統將滿足復合-巴克斯特方程。復合-巴克斯特方程,也就是所謂的四面體方程,可以寫成: 。根據系統的對稱性質可以有不同形式的四面體方程。

在前面一回,我們簡單地介紹了如何利用楊-巴克斯特方程來確保二維伊辛模型轉移矩陣的對易性(也就是物理系統的可積性)。我們可以用類似的方法,利用四面體方程來確保三維伊辛模型的對易性(可積性)。對于上、下兩層平面晶格點上的轉移矩陣AB,我們需要在系統的下邊和左邊分別設立兩個邊界,在邊界每個格點上分別增加一個轉移矩陣CD。邊界附近,上、下層兩個格點AB與附近下邊界和左邊界的CD一起構成四面體方程的左邊CDAB,利用四面體方程,四面體方程的右邊變成BADC?梢,利用四面體方程實現CDAB調換位置,同時AB也調換次序,CD也調換次序。依次利用下邊和左邊兩個邊界上的轉移矩陣CD以及前一次四面體方程右邊的DC,重復利用四面體方程,可以將上、下兩層所有格點上的轉移矩陣AB調換位置,同時逐步將CD分別推移到體系的上邊界和右邊界。最后去掉添加的那兩排邊界上的轉移矩陣CD,體系的轉移矩陣數目沒有變化,唯一改變的是,上下兩層的轉移矩陣AB的位置都發生了改變,上下對換了位置(順序),也就是說,轉移矩陣可以對易。四面體方程確保了三維體系的可對易性,也就是可積性。所以說,四面體方程對精確求解一個三維物理體系至關重要。

一個(菱形十二面體的)四面體的分解和重新排列可用來表明如何通過切斷和熔合交叉來處理拓撲問題。滿足四面體關系保證了三維伊辛模型轉移矩陣的對易性和可積性。三維伊辛模型的配分函數可寫成2個相鄰層的立方體所有V函數的乘積為矩陣元素的層與層轉移矩陣T的形式。如上所述,與以前的結果類似,如果找出三維伊辛模型的四面體方程(或者復合-巴克斯特方程)的解,2個轉移矩陣T(V)T(V')將對易,即。 當然,尚面臨一個困難,這種系統是過確定性的,在每個局域權重的變量上需要加上約束才能獲得一個解。無論如何,這種四面體方程應該存在,因為約當代數和約當-·諾依曼-維格納過程已經確保了對易關系的存在。由于-巴克斯特方程不涉及交叉的切斷和熔合,在不具有交叉的二維伊辛模型的求解過程中不產生幾何相因子。然而,一個四面體關系卻涉及交叉的切斷和熔合(兩個等價的四面體的轉移矩陣的相對位置發生改變時,鏈接這些轉移矩陣的線構成交叉發生了改變),所以我們認為,這導致三維伊辛模型的本征矢量上拓撲相因子的出現。

盡管四面體方程的存在確保了三維伊辛模型的轉移矩陣的對易性以及模型的可積性,但是如何找到四面體方程的解以及三維伊辛模型的精確解仍然困難重重,前路漫漫,仍有許多艱難險阻,充滿了不確定性。

下一回將介紹三維伊辛模型的一些幾何性質。

參考文獻(三維伊辛模型精確解研究三部曲):

  1. 提出兩個猜想:Philosophical Magazine 87 (2007) 5309. https://doi.org/10.1080/14786430701646325

  2. 初探數學結構:Chinese Physics B 22 (2013) 030513.

    https://doi.org/10.1088/1674-1056/22/3/030513

  3. 證明四個定理:Advances in Applied Clifford Algebras 29 (2019) 12。https://doi.org/10.1007/s00006-018-0923-2


 



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