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終結猜想-6-拓撲結構 精選

已有 2217 次閱讀 2019-5-23 08:12 |個人分類:追夢|系統分類:科研筆記

 

在人類的知識結構中,數學是最基礎的學科,數學是知識金字塔的底座,在其上依次是物理、化學、生物、醫學、。。。而物理與數學的聯系最為緊密。一方面,物理學致力于探究大自然的奧秘,以物理基本定律以及模型描述自然體系的運動規律,而這些物理定律以及模型需要用數學公式描述。另外一方面,數學的公理體系和由此而產生的定理需要在實際生活和工程中得到應用,與物理學的聯系是其中的一個重要的出口。數學的發展也會推動物理學的進展。一個典型的例子是,德國數學家黎曼1851年創立的黎曼幾何。愛因斯坦1915完成的廣義相對論的空間幾何就是黎曼幾何。黎曼幾何的提出比廣義相對論早了60多年。由于數學家在研究數學問題時不考慮實際的應用背景,所以是直接面對代數、幾何、拓撲等方面的基本問題,也是大自然的最基本問題,通常會超前于物理以及其他學科的發展。因此,當物理學家在描述某個物理現象遇到數學上的障礙時,第一要務不是自己去發明新的數學工具,而是去查閱數學文獻,學習、理解和應用已經存在著的數學工具。大多數情況下,物理學家都會發現,幾十年甚至幾百年前的數學家在那里微笑著等待著他們。

在三維伊辛模型求解過程中存在的主要困難是拓撲學的困難,源于轉移矩陣中的內因子,這是由于三維空間的拓撲性質決定的。三維空間的非平面性導致多體相互作用體系存在非平庸的拓撲結構。一維伊辛模型不存在這個問題,做一次周期性邊界條件后,僅有兩個自旋。二維伊辛模型也不存在這個問題,做一次周期性邊界條件后,僅有一個自旋鏈參與編號。而三維伊辛模型,在做了一次周期性邊界條件后,有一個平面的自旋參與編號。在轉移矩陣中,這些自旋的貢獻都在起作用,整體上貢獻非局域效應。無論你如何編號,有些最近鄰的自旋的編號相差很遠,其相互作用就像隔離得很遠的自旋相互作用。在三維空間原來編號很整齊的格點之間的鏈接,變成在二維平面上很遠的點鏈接,縱橫交錯,形成許許多多的交叉,即非平庸的紐結。我的猜想一:三維伊辛模型中的拓撲學問題可以通過增加一維空間,在四維空間打開三維伊辛模型的紐結。這個猜想實際上與拓撲學的一個定理是相通的。拓撲學上有一個定理:三維空間的紐結可以被在四維空間打開。下面,將簡要介紹拓撲學的發展、拓撲學的一些基本現象或者概念,拓撲學與物理學的聯系,拓撲學中的紐結以及其與統計物理的關系,以表明大呆提出的引入第四維度處理三維伊辛模型的拓撲學問題是有重要物理學意義和拓撲學基礎的。

所謂拓撲,就是數學體系的結構。拓撲學就是研究這些結構的特征以及不同結構之間的轉變,F代拓撲學的發展起源于18世紀對七橋問題的研究。第一個出場的牛人是大數學家歐拉。

萊昂哈德·歐拉(Leonhard Euler ,1707415日~1783918日),瑞士數學家。歐拉是18世紀數學界最杰出的人物之一,他不但為數學界作出重要貢獻,更把整個數學推至物理的領域。他是數學史上最多產的數學家,平均每年寫出八百多頁的論文,還寫了大量的力學、分析學、幾何學、變分法等的課本,《無窮小分析引論》、《微分學原理》、《積分學原理》等都成為數學界中的經典著作。在許多數學的分支中經常見到以歐拉的名字命名的重要常數、公式和定理。歐拉還涉及建筑學、彈道學、航海學等領域。

所謂七橋問題就是說,在哥尼斯堡的一個公園里,有七座橋將普雷格爾河中兩個島及島與河岸連接起來。問是否可能從這四塊陸地中任一塊出發,恰好通過每座橋一次,再回到起點?歐拉于1736年研究并解決了此問題,他把兩個島以及兩邊的河岸標記為4個點,七個橋梁為鏈接這四個點的連線,將問題歸結為一個簡單的圖形的一筆畫問題,根據進出每個點的線的個數(奇偶性),出發點和結束點的那一點的線的個數應該為偶數,證明上述走法是不可能的。173629歲的歐拉圣彼得堡科學院遞交了《哥尼斯堡的七座橋》的論文,在解答問題的同時,開創了數學的一個新的分支——圖論與幾何拓撲。歐拉在拓撲學上另外一個重要貢獻,就是分析了多面體的頂角個數V、邊數E、面的個數F之間的關系,發現它們之間滿足一個關系式:V-E+F = X, 從而建立了歐拉示性數。對于沒有洞的多面體X = 2,對于有一個洞的多面體X = 0。。。。歐拉示性數X=2-2g。其中g為虧格數,也就是洞的個數。(定義:若曲面中最多可畫出n條閉合曲線同時不將曲面分開,則稱該曲面虧格為n。以實的閉曲面為例,虧格g就是曲面上洞眼的個數。)

拓撲學與物理學的發展密不可分,兩者是相互聯系,相互促進的。第二個常常提及的牛人是,高斯。

約翰·卡爾·弗里德里希·高斯Johann Carl Friedrich Gauss ,1777430日-1855223日),德國著名數學家、物理學家、天文學家、大地測量學家,近代數學奠基者之一。高斯被認為是歷史上最重要的數學家之一,并享有數學王子之稱。高斯和阿基米德、牛頓、歐拉并列為世界四大數學家。一生成就極為豐碩,以他名字高斯命名的成果達110個,屬數學家中之最。他對數論、代數、統計、分析、微分幾何、大地測量學、地球物理學、力學、靜電學、天文學、矩陣理論和光學皆有貢獻。

那么,高斯在拓撲學上有什么貢獻?高斯寫下拓撲學的一個重要公式。給出一個封閉回路圍繞另外一個封閉回路的繞數。高斯的繞數公式好像是神來之筆,不知道他是如何得到的。經過仔細分析,這個繞數公式應該來源于物理學的電磁學理論。由電磁學的畢奧-薩伐爾(Biot–Savart)和安培環路定理Ampere circuital theorem可以直接推導出高斯的繞數公式。在靜磁學中,畢奧-薩伐爾定律描述電流元在空間任意點P處所激發的磁場。電流元Idl 在空間某點P處產生的磁感應強度 dB 的大小與電流元Idl 的大小成正比,與電流元Idl 所在處到 P點的位置矢量電流元Idl 之間的夾角的正弦成正比, 而與電流元Idl P點的距離的平方成反比。該定律在靜磁近似中是有效的,并且與安培環路定理和磁性高斯定律一致。安培環路定理:在穩恒磁場中,磁感應強度B沿任何閉合路徑的線積分,等于這閉合路徑所包圍的各個電流的代數和乘以磁導率。安培環路定理反映了穩恒磁場的磁感應線和載流導線相互套連的性質。

畢奧-薩伐爾定律的公式代入安培環路定理的公式即得到高斯的繞數公式。這個公式電磁學上的意義是,描述了一個封閉導線的電流產生的磁感應強度,這個磁感應強度B沿另外一個封閉導線的閉合路徑的線積分。

拓撲學中有許多有趣的例子。比較著名的是莫比烏斯帶。1858年德國數學家莫比烏斯Mobius,17901868)和約翰·李斯丁發現:把一根紙條扭轉180°后,兩頭再粘接起來做成的紙帶圈。這樣的紙帶只有一個面(即單側曲面),一只小螞蟻可以爬遍整個曲面而不必跨過它的邊緣。普通紙帶具有兩個面(即雙側曲面),一個正面,一個反面。莫比烏斯帶的高維類似物是克萊因瓶。在拓撲學中,克萊因瓶(Klein Bottle)是一個不可定向的拓撲空間。在1882年德國幾何學大家菲立克斯·克萊因 (Felix Klein) 發現了克萊因瓶。一個瓶子底部有一個洞,現在延長瓶子的頸部,并且扭曲地進入瓶子內部,然后和底部的洞相連接。這個物體沒有,它的表面不會終結。它和球面不同 ,一只蒼蠅可以從瓶子的內部直接飛到外部而不用穿過表面,即它沒有內外之分。

拓撲學上的等價指的是,通過連續變形從一個結構變到另外一個結構。通常人們舉的例子有:一個球與一個碗是拓撲等價的。一個面包圈與帶一個杯把子的茶杯是拓撲等價的,。。。一個結構的拓撲性質由其中存在的貫穿的洞的個數決定。由于拓撲結構的不變性,具有拓撲保護,拓撲性質不容易被改變。例如,一個煙圈可以維持其形狀被吹到遠處而不消散。拓撲學的知識與物理學密切相關,經過多年的研究,人們已經知曉,拓撲學的貢獻體現在物理學的方方面面。例如,在許多體系存在的拓撲相因子,見大呆的系列博文《物理學中的拓撲相因子》。正是由于幾位科學家對拓撲物相的認識以及其對凝聚態物質的貢獻,諾貝爾物理學獎2016年頒發給三位科學家。David Thouless, Duncan Haldane, M. Kosterlitz,以表彰他們在物質的拓撲相變和拓撲相方面的理論發現。Kosterlitz Thouless在二維XY模型體系發現了與渦旋態相關的拓撲相變,從而解釋了在二維超導、超流和磁性體系的拓撲相變。Duncan Haldane發現一維反鐵磁體系存在與自旋量子數的性質(整數和半整數)相關的拓撲性質,存在有無能隙的變化,并且用拓撲學的性質解釋了量子霍爾效應的機制,對后來拓撲絕緣體的發展有啟發性作用。他們具體的工作不是這篇博文介紹的重點內容。這足以說明拓撲學對物理學的重要性。

下一篇博文將介紹拓撲變換以及與三維伊辛模型的聯系。

參考文獻(三維伊辛模型精確解研究三部曲):

  1. 提出兩個猜想:Philosophical Magazine 87 (2007) 5309. https://doi.org/10.1080/14786430701646325

  2. 初探數學結構:Chinese Physics B 22 (2013) 030513.

    https://doi.org/10.1088/1674-1056/22/3/030513

  3.證明四個定理:Advances in Applied Clifford Algebras 29 (2019) 12。https://doi.org/10.1007/s00006-018-0923-2

 



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