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終結猜想-3-四元數代數 精選

已有 5208 次閱讀 2019-5-2 07:18 |個人分類:追夢|系統分類:科研筆記

 

我的猜想論文長達100多頁,其中充滿了閃光點,不泛原創性的思想。除了反方,一個不帶有偏見的科學家總可以從中發現閃光之處,引起共鳴!墩軐W雜志》的編輯和審稿人認為,我的猜想提供了一個與眾不同的解決問題的方案,既然其他方法在幾十年時間內都沒有解決問題,甚至說毫無進展,那么不如換一個思路試一試。他們當時接受我的猜想論文的初衷就是想刺激一下一潭死水的學術界。即使猜想的結果可能有錯誤,也有可能激發其他科學家的研究熱情和靈感,從而推動整個問題的解決進程。March教授則堅信我的臨界指數是正確的。數學軍團的數學家們則接受我提出的增加一維打開三維伊辛模型的紐結、建立四元數的本征矢量的思想,因為對他們來講,從數學上這是最自然而然的事情。

人們對數的認識是從簡單到復雜,這與我們教小孩子認識數的順序基本上一致。首先是認識自然數或者正整數,然后分數、小數,再擴展到負數、復數等等。復數是一個非常重要的概念。復數是由實數加上元素 i 和虛數組成,其中i^2 = -1。復數z=x+iy可以構成一個二維平面,即復平面,可以描述平面內的轉動。數學上一個重要的研究領域就是復變函數,是研究以復數為自變量的函數的性質的領域。

那么,有沒有比復數更復雜的超復數?

一百七十多年前,這個問題困擾了愛爾蘭著名數學家William Rowan Hamilton (1805-1865)許多年。哈密頓就是物理體系中的哈密頓量的那個哈密頓。研究工作成果最大的是光學、力學和四元數,在科學史中影響最大的是他對力學的貢獻。哈密頓量是現代物理最重要的量。當時哈密頓試圖將復數擴展到更高的維次,復數可視為平面上的點,一個最自然的想法是將復數直接推廣到三維空間。但是,無論他怎么嘗試,均無法在三維空間構成一個新的代數。哈密頓久思不得其解,研究陷入困境。根據哈密頓記述,他于18431016日跟他的妻子在都柏林的皇家運河(Royal Canal)邊散步時突然想到(可以說是頓悟的典型例證) https://gss0.bdstatic.com/94o3dSag_xI4khGkpoWK1HF6hhy/baike/s%3D116/sign=2927740b9b2bd40746c7d7fc4d899e9c/3812b31bb051f819a61be969d6b44aed2e73e7d3.jpg的方程解。之后哈密頓將此方程刻在附近布魯穆橋(Brougham Bridge,現稱為金雀花橋 Broom Bridge)。這條方程放棄了乘法交換律。在當時還未發展出向量和矩陣的學術界看來,是一個非常極端的想法,故遭到許多人的抨擊。

四元數是最簡單的超復數。 復數是由實數加上和虛數(元素 i)組成,其中i^2 = -1。 四元數都是由實數加上三個元素 i、j、k 組成,而且它們有如下的關系: i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1, 每個四元數都是 1、i、j k 的線性組合,即是四元數一般可表示為a + bi + cj + dk。四元數可以用泡利矩陣表示,自然地描述三維空間的旋轉。

可以將四元數中i、j、k本身的幾何意義理解為一種旋轉,其中i旋轉代表X軸與Y軸相交平面中X軸正向向Y軸正向的旋轉,類似地,j旋轉代表Z軸與X軸相交平面中Z軸正向向X軸正向的旋轉,k旋轉代表Y軸與Z軸相交平面中Y軸正向向Z軸正向的旋轉。-i、-j、-k分別代表i、j、k旋轉的反向旋轉

四元數代數仍舊存在乘法的結合律、非零元素,仍有唯一的逆元素。但是,四元數代數的乘法不符合交換律commutative law),故四元數是復數的不可交換延伸。如把復數的集合考慮成二維實數空間,則四元數的集合可以考慮成多維實數空間,四元數就代表著一個四維空間。四元數形成一個在實數上的四維結合代數(事實上是除法代數),并包括復數,但不與復數組成結合代數。四元數(以及實數和復數)都只是有限維的實數結合除法代數。

四元數的不可交換性往往導致一些出人意料的結果,例如四元數的 n-階多項式能有多于 n 個不同的根。單位四元數可以表示四維空間中的一個轉動。所有單位四元數的集合組成一個三維球S3和在乘法下的一個群(一個李群)。S3是行列式為1的實正交3×3正交矩陣的群SO3,R)的雙面覆蓋,因為每兩個單位四元數通過上述關系對應于一個轉動。群S3SU2)同構,SU2)是行列式為1的復酉2×2矩陣的群。

四元數代數向更高的維度的推廣,如復數四元數、八元數等。

四元數代數與物理的聯系,如四元數量子力學、四元數與狹義相對論。四元數與狹義相對論的關系很好理解。狹義相對論的時空觀中,有三個實數坐標為空間、一個虛數坐標為時間。四元數代數正好反過來了,有三個虛數、一個實數,如果將這三個虛數、一個實數轉變成三個實數、一個虛數則正好可以描述狹義相對論的時空。由于四元數代數可以自然低描述大自然的物理體系,所以,也有人將四元數代數稱為自然代數。

四元數代數與三維伊辛模型怎么拉上關系的?在我提出兩個猜想的論文中,我構建了一個四元數本征函數。因為對于二維伊辛模型,沿著一個維度方向做周期性邊界條件后,二維伊辛模型的本征函數是一個一維向量(與做周期性邊界條件的那一維一起構成一個復數平面)。對于三維伊辛模型,沿著一個維度方向做周期性邊界條件后,僅僅有兩維向量,根據猜想需要增加一個維度,從而總共有三個維度的向量,構成一個四元數本征函數(與做周期性邊界條件的那一維一起構成一個四元數(3+1)維度空間)。在我的三維伊辛模型精確解的猜想中,擴展一維空間打開三維空間的紐結,實際上就是需要在四維空間做一個旋轉變換,而構建四元數的本征矢量正好可以滿足四維空間中的一個轉動的要求。這充分表明我的兩個猜想是互補的,也是自洽的。我通過增加一個維度來構建三維伊辛模型的四元數本征矢量的思路與哈密頓增加一個虛數維度構建四元數的思路有異曲同工之妙。Lawrynowicz教授為代表的數學家高度贊賞我構建的三維伊辛模型四元數本征函數,因為四元數滿足約當(Jordan)代數,可以用約當代數的乘法來解決三維伊辛模型中算符的不對易性問題。

關于約當代數以及三維伊辛模型中的約當-·諾依曼-維格納(Jordan-von Neumann-Wigner)機制,請聽下回分解。

參考文獻(三維伊辛模型精確解研究三部曲):

  1. 提出兩個猜想:Philosophical Magazine 87 (2007) 5309. https://doi.org/10.1080/14786430701646325

  2. 初探數學結構:Chinese Physics B 22 (2013) 030513.

    https://doi.org/10.1088/1674-1056/22/3/030513

  3. 證明四個定理:Advances in Applied Clifford Algebras 29 (2019) 12。https://doi.org/10.1007/s00006-018-0923-2


 



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